Regra de Sarrus

Determinantes (regra de Sarrus)

Inicialmente, iremos introduzir algumas regras que permitam o cálculo de determinantes nos casos particulares da matriz quadrada de ordem 1, 2 ou 3 e, a seguir, após o domínio dessas regras, apresentaremos uma definição geral para determinantes de uma matriz quadrada de ordem n.

Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem 

O determinante da matriz A = | a11|, indicado por det A ou |a11|, é o próprio elemento a11, ou seja:
det A = |a11| = a11 (não confundir com o módulo do número a11).
Exs: Se A = [-3], então det A = |-3|.
       Se B = [6], então det A = |6| = 6

Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem

O determinante da matriz  é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Veja o exemplo abaixo:

   

                        

Determinante de uma matriz de 3ª ordem

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado usando a regra de Saurus, que consiste no seguinte:

• copia-se o determinante repetindo-se as duas primeiras colunas;
• multiplicam-se os elementos ligados por "traços vermelhos", mantendo-se o sinal de cada produto;
• multiplicam-se os elementos ligados por "traços azuis", trocando-se o sinal de cada produto;
• somam-se os resultados obtidos.

Diagonal principal
(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)

Diagonal secundária 
(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁ * a₃₃)

Determinante 
D = {(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)} – {(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁* a₃₃)}

Exemplo : 

Dada a matriz  , calcule o seu determinante.




Diagonais principais 
(–1) * 0 * (–1) = 0
(–5) * 6 * (–4) = 120
(–7) * (8) * (5) = – 280


0 + 120 + (–280)
120 – 280
– 160


Diagonais secundárias 
(–7) * 0 * (–4) = 0
(–1) * 6 * 5 = – 30
(–5) * 8 * (–1) = 40

0 + (–30) + 40
–30 +40
10


Determinante 
D_B = –160 – 10
D_B = – 170

Exercicio de matriz inversa !!

  01:Multiplicando-se a matriz  pela matriz  ,obtém-se a matriz . Então o valor de x é:
a) -1   
b) 0
c) 2
d) 3

02: Caso exista, encontre a inversa da matriz .

03:Sejam as matrizes

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:
a) 3/2 
b) 2/3   
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

04: O número de matrizes onde , tais que é:

Como prometido ! Entrevista com o professor de matemática do Vivina Monteiro *-* Professor Neto !

Entrevista com o professor Carlos da escola Pe. José Alves de Macêdo ! Troca de conhecimentos com professores de outras escolas ( Em Breve postaremos com o professor do Vivina Monteiro)

Matriz Inversa - Parte 1 ! Explicação mais detalhada ! ;)

Exercico de matriz inversa ! Resolva você !

 01 Sejam as matrizes

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:
a) 3/2  

b) 2/3    

c) 1/2

d) 3/4 

e) 1/4 

01 Multiplicando-se a matriz 
 pela matriz 
 ,obtém-se a matriz. Então o valor de x é:

a) -1    

b) 0 

c) 2

d) 3 

 03 Caso exista, encontre a inversa da matriz 

                                                         Respostas !!!

Resposta Questão 1

A.M = I
Essa igualdade é verdadeira, pois a matriz M é inversa da matriz A. Através dessa igualdade encontraremos o valor de x e y.

Resposta Questão 2

Dessa forma, temos que x = 2, opção c.

Resposta Questão 3

Como  det⁡B≠0,temos que a matriz B admite inversa.

Para obtermos os valores da matriz inversa, é preciso resolver estes dois sistemas.

Resolvendo o sistema (1):

Logo, a matriz inversa de B será:

Calculando matriz inversa \o/

Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve multiplicação e igualdade de matrizes. Vejamos como ocorre este processo partindo da definição de uma matriz inversa. 


Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = I_n e X.A = I_n (onde I_n é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A^(-1).

Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes (A.X = In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e que seja pedido para verificar se uma matriz é a inversa da outra, basta efetuar a multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado desta operação for a matriz identidade, afirmaremos que se trata de uma matriz inversa. 

Para aqueles que já sabem calcular o determinante, existe um modo prático para descobrir se uma matriz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa para ela. 

Exemplo: 



A parte principal para matriz inversa é a parte onde se deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. Vejamos como proceder. 

Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz A. 



Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos.



Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, obteremos a matriz identidade .

Por fim, teremos a seguinte igualdade:



Para tanto, deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes para realizarmos estes cálculos.



Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas.



Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas. 

Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição. 



Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a.



Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos os seguintes valores para as incógnitas:



Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, vamos esboçá-la:



Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta matriz corresponde à matriz inversa: