Regra de Sarrus

Determinantes (regra de Sarrus)

Inicialmente, iremos introduzir algumas regras que permitam o cálculo de determinantes nos casos particulares da matriz quadrada de ordem 1, 2 ou 3 e, a seguir, após o domínio dessas regras, apresentaremos uma definição geral para determinantes de uma matriz quadrada de ordem n.

Determinante de uma matriz quadrada de 1ª ordem 

O determinante da matriz A = | a11|, indicado por det A ou |a11|, é o próprio elemento a11, ou seja:
det A = |a11| = a11 (não confundir com o módulo do número a11).
Exs: Se A = [-3], então det A = |-3|.
       Se B = [6], então det A = |6| = 6

Determinante de uma matriz quadrada de 2ª ordem

O determinante da matriz  é igual à diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Veja o exemplo abaixo:

   

                        

Determinante de uma matriz de 3ª ordem

O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode ser calculado usando a regra de Saurus, que consiste no seguinte:

• copia-se o determinante repetindo-se as duas primeiras colunas;
• multiplicam-se os elementos ligados por "traços vermelhos", mantendo-se o sinal de cada produto;
• multiplicam-se os elementos ligados por "traços azuis", trocando-se o sinal de cada produto;
• somam-se os resultados obtidos.

Diagonal principal
(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)

Diagonal secundária 
(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁ * a₃₃)

Determinante 
D = {(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)} – {(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁* a₃₃)}

Exemplo : 

Dada a matriz  , calcule o seu determinante.




Diagonais principais 
(–1) * 0 * (–1) = 0
(–5) * 6 * (–4) = 120
(–7) * (8) * (5) = – 280


0 + 120 + (–280)
120 – 280
– 160


Diagonais secundárias 
(–7) * 0 * (–4) = 0
(–1) * 6 * 5 = – 30
(–5) * 8 * (–1) = 40

0 + (–30) + 40
–30 +40
10


Determinante 
D_B = –160 – 10
D_B = – 170

Exercicio de matriz inversa !!

  01:Multiplicando-se a matriz  pela matriz  ,obtém-se a matriz . Então o valor de x é:
a) -1   
b) 0
c) 2
d) 3

02: Caso exista, encontre a inversa da matriz .

03:Sejam as matrizes

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:
a) 3/2 
b) 2/3   
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

04: O número de matrizes onde , tais que é:

Como prometido ! Entrevista com o professor de matemática do Vivina Monteiro *-* Professor Neto !

Entrevista com o professor Carlos da escola Pe. José Alves de Macêdo ! Troca de conhecimentos com professores de outras escolas ( Em Breve postaremos com o professor do Vivina Monteiro)

Matriz Inversa - Parte 1 ! Explicação mais detalhada ! ;)

Exercico de matriz inversa ! Resolva você !

 01 Sejam as matrizes

Onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:
a) 3/2  

b) 2/3    

c) 1/2

d) 3/4 

e) 1/4 

01 Multiplicando-se a matriz 
 pela matriz 
 ,obtém-se a matriz. Então o valor de x é:

a) -1    

b) 0 

c) 2

d) 3 

 03 Caso exista, encontre a inversa da matriz 

                                                         Respostas !!!

Resposta Questão 1

A.M = I
Essa igualdade é verdadeira, pois a matriz M é inversa da matriz A. Através dessa igualdade encontraremos o valor de x e y.

Resposta Questão 2

Dessa forma, temos que x = 2, opção c.

Resposta Questão 3

Como  det⁡B≠0,temos que a matriz B admite inversa.

Para obtermos os valores da matriz inversa, é preciso resolver estes dois sistemas.

Resolvendo o sistema (1):

Logo, a matriz inversa de B será:

Calculando matriz inversa \o/

Encontrar a matriz inversa de uma matriz conhecida é um processo que envolve multiplicação e igualdade de matrizes. Vejamos como ocorre este processo partindo da definição de uma matriz inversa. 


Seja A uma matriz quadrada de ordem n, e X uma matriz tal que A.X = I_n e X.A = I_n (onde I_n é a matriz identidade). Caso isso ocorra, denominamos a matriz X de matriz inversa de A, tendo como notação A^(-1).

Portanto, para encontrar a inversa de uma matriz dada, deveremos resolver a igualdade de matrizes (A.X = In). No caso em que sejam dadas duas matrizes e que seja pedido para verificar se uma matriz é a inversa da outra, basta efetuar a multiplicação destas duas matrizes. Se o resultado desta operação for a matriz identidade, afirmaremos que se trata de uma matriz inversa. 

Para aqueles que já sabem calcular o determinante, existe um modo prático para descobrir se uma matriz possui uma matriz inversa ou não. Basta calcular o determinante da matriz: caso o determinante dê igual a zero, não existe matriz inversa para ela. 

Exemplo: 



A parte principal para matriz inversa é a parte onde se deve encontrá-la tendo como base uma matriz dada. Vejamos como proceder. 

Exemplo: Encontre a matriz inversa da matriz A. 



Sabemos que a matriz A-1 será uma matriz quadrada de mesma ordem. Explicite uma matriz inversa com elementos quaisquer. Sendo assim, usaremos letras para representar estes elementos.



Sabemos que ao multiplicarmos estas duas matrizes, obteremos a matriz identidade .

Por fim, teremos a seguinte igualdade:



Para tanto, deveremos compreender o processo de multiplicação de matrizes para realizarmos estes cálculos.



Através da igualdade de matrizes, obteremos 4 igualdades muito importantes para os nossos cálculos. Agrupá-las-emos de forma que as igualdades com mesmas incógnitas fiquem juntas.



Em situações como estas devemos resolver estes sistemas de equações com duas incógnitas. 

Resolvendo o sistema 1) pelo método da adição. 



Substituindo o valor de c, obteremos o valor de a.



Resolvendo o sistema 2) de forma análoga, obteremos os seguintes valores para as incógnitas:



Como encontramos os valores para os elementos da matriz inversa, vamos esboçá-la:



Neste primeiro momento verificaremos se de fato esta matriz corresponde à matriz inversa:

Simulado do enem ! Prepare-se você também

http://www.anchietaba.com.br/portal/canaldamatematica/resolucao/RESOLUCAO-SIMULADO-ENEM-COLEGIOANCHIETA-BA-%2004-05-2013.pdf

http://www.vestibular1.com.br/enem/simulado_enem_matematica.pdf

Entre eestude você também ! :3

Adição de matrizes :)

Assim como os números, as matrizes possuem propriedades operatórias, podem ser adicionadas. Considerando duas matrizes A e B de mesma ordem, isto é, mesmo número de linhas e colunas, a soma entre elas constituirá em uma matriz C de mesma ordem das adicionadas. Os termos deverão ser somados de acordo com suas posições. Por exemplo, se somarmos duas matrizes de ordem 3x3, as adições dos elementos respeitarão a seguinte situação:

a₁₁ + b₁₁ = c₁₁
a₁₂ + b₁₂ = c₁₂
a₁₃ + b₁₃ = c₁₃
a₂₁ + b₂₁ = c₂₁
a₂₂ + b₂₂ = c₂₂
a₂₃ + b₂₃ = c₂₃
a₃₁ + b₃₁ = c₃₂
a₃₂ + b₃₂ = c₃₂
a₃₃ + b₃₃ = c₃₃ 
Exemplo 1

Adicionar as matrizes A e B.

A + B = C ↔ a_ij + b_ij = c<sub>i
A matriz se enquadra nas propriedades da adição, dada a matriz A, B, C e O, sendo O nula, vale as propriedades da:

Comutação: A + B = B + A
Associação: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + O = O + A = 0</sub>
 

Questões de vestibular. Tente você !

1. (UFJF-03) A tabela abaixo fornece a quantidade de proteína, carboidrato e gordura, contida em cada grama dos alimentos A, B, C e D. Um nutricionista deseja preparar uma refeição, composta somente por esses alimentos, que contenha exatamente 50 unidades de proteínas, 21 unidades de carboidrato e 24 unidades de gordura. Então, quanto às maneiras de se combinarem quantidades desses quatro alimentos, em números inteiros de gramas, para compor tal refeição, é correto afirmar que:

A) não existe tal maneira

B) existe uma única maneira;

C) existem exatamente duas maneiras;

D) existem exatamente três maneiras;

E) existem infinitas maneiras.

02.UFMG-03) Feita uma pesquisa sobre 3 alimentos que contêm vitaminas A, B e C, em uma quantidade de 1 g, determinou-se que:

 

Se são necessárias 13 unidades de A, 16 unidades de B e 21 unidades de C, a quantidade de alimentos I, II e III que fornece a quantidade de vitamina desejada é de:

A) 2I + 3II + 1III        B) 2I + 2II + 2III      C) 1I + 2II + 1III      D) 3I + 1II + 2III

03.ULBRA-03) Determinando os valores de a e b, a fim de que o sistema

seja indeterminado, o produto ab é:

A) 36      B) 24      C) 18      D) 12       E) 6

04.(PUCRIO-03) Assinale a afirmativa correta.

O sistema:

A) não tem solução.

B) tem uma solução única x = 1, y = 0, z = 0.

C) tem exatamente duas soluções.

D) tem uma infinidade de soluções. 

E) tem uma solução com z = 1.

 

E aqui está alguns tipos de matrizes ! Com exemplos ! :)

·         Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
   

·         Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

 Por exemplo, do tipo 3 x 1
   

·         Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. 

Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

   Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja :

a₁₁ = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1
a₃₁= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3  + 1 = 3 + 1)

·         Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0_{m x n.}

·         Por exemplo, .

·         Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I_n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:
  

·         Matriz transposta: matriz A^t  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

    Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A^t é do tipo n x m.
   Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.